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y=x^2×E^x求y的n阶导数

y=x^2*e^x y'=2xe^x+x^2*e^x y''=2e^x+4xe^x+x^2*e^x y(3)=6e^x+6xe^x+x^2*e^x 这里可以看到e^x的系数是0+2+4,xe^x的系数是2+2+2,最后一项总是x^2*e^x ......经过归纳总结可得: y(n)=n(n-1)e^x+2nxe^x+x^2*e^x

如上图所示。

因为e^x的k阶导数为e^x,且1/x的k阶导数为(-1)^k*k!*1/x^(k+1) 根据莱布尼兹公式 y^(n)=∑(k=0->n) C(n,k)*e^x*(-1)^k*k!*1/x^(k+1)

莱布尼茨公式里有:(e^x)'(n)=e^x; (sinkx)'(n)=(k^n)*sin(kx+n∏/2) y'=e^x*sinx+e^x*cosx y''=e^x*sinx+e^x*cosx+e^x*cosx-e^x*sinx =2e^x*cosx y'''=2e^x*cosx-2e^x*sinx y''''=2(e^x*cosx-e^x*sinx-e^x*sinx-e^x*cosx) =-4e^x*sinx ..........

计算过程如上图。

请将ln(1-x²)分解为ln(1-x)ln(1+x)=uv,并代入上式求n阶导

y'=e^x,y''=e^x y的n阶导数=e^x

F=x^3-2x^2 y/e^x=F 三次项和二次项就不分析了 一次 2(1+3(N-2))累和 常数 3n2-13n+10累和 y(n)/e^x=F=X^3+(1+3(N-1))X^2+[(3N-7)N]X+(N-1)(N-4)N

这个题目没有给出具体的阶次么,如果给出了,可以对上面两个式子泰勒展开,然后取相应系数就行。

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