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lim x趋近0 (x%ArCsinx)/x^3_BACkup

使用泰勒展开得到arcsinx=x+(1/6)*x^3+(3/40)*x^5+……… 于是x-arcsinx= -(1/6)*x^3 -(3/40)*x^5+……… 再除以分母x^3得到-(1/6) -(3/40)*x²+……… 代入x=0,极限值当然为 -1/6 或者洛必达法则,分子分母同时求导得到 极限值=(1-1/√(1-x²)) ...

【数学之美】团队为您解答,若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。

题目有歧义。请附原题印刷版图片。如果是: lim(sinx/x)^[1/arcsin(x^3)] = e^[limln(sinx/x)/arcsin(x^3)] = e^[lim(1+sinx/x-1)/(x^3)] = e^[lim(sinx-x)/(x^4)] = e^[lim(cosx-1)/(4x^3)] = e^[lim(-x^2/2)/(4x^3)] = e^[lim(-1/8)(1/x)] lim...

lim x->0 (arcsinx/x)^(1/x^2) =e^lim x->0 [ln(arcsinx/x)]/x^2 先求lim x->0 [ln(arcsinx/x)]/x^2 先用等价无穷小带换ln(arcsinx/x)=ln[1+(arcsinx/x-1)]~(arcsinx/x)-1=(arcsinx-x)/x 于是lim x->0 [ln(arcsinx/x)]/x^2=lim (arcsinx-x)/x^3 ...

2个重要要背到烂熟,x趋于0时limx/sinx=1,limx/ln(1+x)=1 所求=lim(x/√(1-x²))/-x=lim-1/√(1-x²)=-1

这是过程

用洛比搭法则试试

记住基本的等价无穷小性质 sinx~arcsinx~e^x-1 ~x 以及1-cosx~0.5x^2等等 那么在这里arcsinx等价于x 所以得到原极限=x/x=1

0 关键看acsin的定义,如果只是让值域为(-pi/2,pi/2) 则答案为0 广义的定义的话就时不存在的了,因为这个时候的arcsin函数时多值函数

以下是重要的等价无穷小:请记住: 当x→0时, sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~(1/2)*(x^2)~ secx-1 (a^x)-1~x*lna ((a^x-1)/x~lna) (e^x)-1~x ln(1+x)~x (1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~(1/n)*x loga(1+x)~x/lna (1+x)^a-1~ax...

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