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证明1/2<=∫sinx/x Dx<=√2/2 (其中积分是定积分π/4到π/2)

∫(1,-1) (|x|+sinx)x^2 dx =∫(1,-1) |x|x^2 dx +∫(1,-1) sinxx^2 dx =2∫(1,0) x^3 dx +0=2*1/4=1/2

先证明:当0<x<Pi/2时, 2/Pi < sinx /x < 1 则 1<∫[0,π/2](sinx/x)dx < π/2 不等式sinx /x < 1即 sinx<x.成立 不等式sinx /x > 2/π,用导数证明,令f(x)=sinx -2x/π,求导f'(x)=cosx-2/π 得驻点x0=arccos(2/π),讨论单调性,当0<x<x0,f'(x)>0,当x0<x<2/π,f'(x)<0, 又fmax=f(x0),f(0)=f(π/2)=0,从而f(x)>0.

令u=π-x,du=-dx,u:π--->0,则 ∫[0--->π]xf(sinx)dx =-∫[π--->0](π-u)f(sin(π-u))du =∫[0--->π](π-u)f(sinu)du =π∫[0--->π]f(sinu)du-∫[0--->π]uf(sinu)du 积分变量可随便换字母 =π∫[0--->π]f(sinx)dx-∫[0--->π]xf(sinx)dx

∫1/(2+sinx)dx=2√3/3*arctan{[2√3tan(x/2)+√3]/3}+C.C为常数.2+sinx=2sin(x/2)^2+2cos(x/2)^2+2sin(x/2)cos(x/2) dx/(2+sinx)=sec(x/2)^2dx/[2+2tan(x/2)^2+2tan(x/2)]=d(tan(x/2))/[1+tan(x/2)+tan(x/2)^2] 令u=tan(x/2) 原积分=∫du/(1+u+u^2)=∫d(u+1/

先证明:当0

f(x) = sinx / x , f '(x) = (x cosx - sinx ) / x = cosx ( x - tanx) / xx∈(π/4,π/2), f '(x) < 0, f(x)单减,f(x) 的最大值 f(π/4) = √2/2 / (π/4) 最小值 f(π/2) = 1/(π/2)估值:区间长度π/4,∴ 1/2 < I < √2/2

∵u=sinx是奇函数,则有x>0时 f(u)=f(u),x 评论0 0 0

∫(sinxsin2x)dx 你是求不定积分吧,定积分要有上下限的呀=∫2sinx sinxdsinx (sinx的导数是cosx)=(2/3)(sinx)^3+C (读作三分之二倍的sinx的三次方加上常数C) 如果是求定积分,就将上限的x值带入求得的数 减去 下限的x值带入求得数 就是最后结果了 至于楼上的那位的解答太过复杂 涉及sin(x/2)和sin(3x/2)建议此公式用于类似提到x偶整数倍使用 数学之美2团,竭诚为你服务,请多指教

先证明:当0<x<π/2时, 2/π< sinx /x < 1; 则 1<∫[0,π/2](sinx/x)dx < π/2(1)不等式sinx /x < 1即 sinx<x显然成立(2)不等式sinx /x > 2/π,用导数证明,令f(x)=sinx -2x/π,求导f'(x)=cosx-2/π 得驻点x0=arccos(2/π),讨论单调性,当0<x<x0,f'(x)>0,当x0<x<π/2, f'(x)<0, 又fmax=f(x0),f(0)=f(π/2)=0,从而f(x)>0.

解: ∫(0→π/2)(cosx)^5(sinx)dx=∫(0→π/2)(cosx)^4(sinx)d(sinx)=∫(0→π/2)(1-sinx)(sinx)d(sinx)=∫(0→π/2)[(sinx)^6+2(sinx)^4+(sinx)^2]d(sinx)=[1/3(sinx)^3-2/5(sinx)^5+1/7(sinx)^7] |(0→π/2)=1/3-2/5+1/4=8/105

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