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设F(x)在[0,+∞ ]上连续,F(x)=∫ xF(t%1)Dt,求F(...

令y=t-1; 则f(t-1)的原函数为:G(y) 说明一下,原式中的x可以直接提到积分外面来 不好插入过程, 结果 原式=x(x-1)*G(y);

设f(x)的原函数是F(x),则由∫x0f(t)dt=x(1+cosx)得:F(x)-F(0)=x(1+cosx),∴F′(x)-F′(0)=1+cosx-xsinx,即f(x)=1+cosx-xsinx,∴f(π2)=1+cosπ2-π2sinπ2=1?π2,故答案为:1?π2.

f(x)=∫(0,2x)f(t/2)dt+1 f(0)=∫(0,0)f(t/2)dt+1=0+1=1 f'(x)=f(2x/2)·(2x)'=2f(x) 即y'=2y→dy/y=2dx 两边积分:lny=2x+C→y=e^(2x+C) y(0)=e^C=1→C=0 ∴f(x)=e^2x

两边对x求导,得f(x)=2f(x)+2xf'(x)+1,移项后得2xf'(x)+f(x)=-1,即y=f(x)满足微分方程的初值问题 2xy'+y=-1 y(1)=0 解此微分方程即可得到f(x)

解答:解(1)对变限积分求导,F′(x)=∫x0f(t)dt+xf(x).(2)F(0)=0,F(1)=∫10f(x)dx=0,又因为F(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,由罗尔定理可得,存在一点ξ∈(0,1)使得F'(ξ)=0,即∫ξ0f(x)dx=?ξf(ξ)(3)因为F'(0)=0,F'(ξ)...

记方程左边的函数为g(x),则显然g(a)0. 又有g'(x)=f(x)+1/f(x)>0,即g(x)严格单调递增,因此g(x)=0只有一个根。

(1)∵F(x)=∫x0f(t)dt,其中f(x)是连续函数∴F′(x)=lim△x→0F(x+△x)?F(x)△x=lim△x→0∫x+△xxf(t)dt△x积分中值定理.lim△x→0f(ξ)△x△x其中ξ∈(x,x+△x),当△x→0时,ξ→x∴F′(x)=f(x)lim△x→0△x△x=f(x)(2)∵G(x)=2∫0xf(t)dt-x∫02f(t)dt∴G(x+2...

整个记为y,分离变量求出y后再开方求导可得。要注意计算

①∵f(-x)=-f(x)∴F(?x)=?1x∫?x0f(t)dt令u=?t.=?1x∫x0f(?u)d(?u)=?1x∫x0f(u)du=?F(x)∴F(x)也是奇函数故①正确.②∵f(x+T)=f(x)∴F(x+T)=1x+T∫x+T0f(t)dt令u=t?T. 1x+T∫x0f(u+T)du=1x+T∫x0f(u)du≠F(x)∴F(x)不是以T为周期的周期函数....

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