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设F(x)在[0,+∞ ]上连续,F(x)=∫ xF(t%1)Dt,求F(...

设f(x)的原函数是F(x),则由∫x0f(t)dt=x(1+cosx)得:F(x)-F(0)=x(1+cosx),∴F′(x)-F′(0)=1+cosx-xsinx,即f(x)=1+cosx-xsinx,∴f(π2)=1+cosπ2-π2sinπ2=1?π2,故答案为:1?π2.

f(x)=∫(0,2x)f(t/2)dt+1 f(0)=∫(0,0)f(t/2)dt+1=0+1=1 f'(x)=f(2x/2)·(2x)'=2f(x) 即y'=2y→dy/y=2dx 两边积分:lny=2x+C→y=e^(2x+C) y(0)=e^C=1→C=0 ∴f(x)=e^2x

令a=∫(0,1)f(t)dt, 它为常数 故f(x)=x+2a 再代入上述积分: a=∫(0,1)(t+2a)dt=(t^2/2+2at)|(0,1)=1/2+2a 解得:a=-1/2 所以f(x)=x-1

等式∫xy0f(t)dt=x∫ y1f(t)dt+y∫ x1f(t)dt 两端对y求导可得,xf(xy)=xf(y)+∫x1f(t)dt.令y=1可得,xf(x)=3x+∫x1f(t)dt.上式两端对x求导可得,xf′(x)+f(x)=3+f(x).即:f′(x)=3x.从而,f(x)=3lnx+C.由f(1)=3可得,C=f(1)=3...

两边对x求导,得f(x)=2f(x)+2xf'(x)+1,移项后得2xf'(x)+f(x)=-1,即y=f(x)满足微分方程的初值问题 2xy'+y=-1 y(1)=0 解此微分方程即可得到f(x)

(1)令t=-μ,则μ=-t,∵∫?x0(?x?3t)f(t)dt=-∫x0(?x+3μ)f(?μ)dμ=-∫x0(x?3μ)f(μ)dμ=-F(x),所以F(x)为奇函数.(2)对函数求一阶导,有F′(x)=∫x0f(t)dt?2xf(x)=∫x0[f(t)?f(x)]dt?xf(x).∵x>0时,f(0)=0,而f(x),在(-∞,+∞)内连续且...

如图改写一下,先分部积分,再改写合并,就可证明这个等式。

解答:解(1)对变限积分求导,F′(x)=∫x0f(t)dt+xf(x).(2)F(0)=0,F(1)=∫10f(x)dx=0,又因为F(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,由罗尔定理可得,存在一点ξ∈(0,1)使得F'(ξ)=0,即∫ξ0f(x)dx=?ξf(ξ)(3)因为F'(0)=0,F'(ξ)...

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明∫[∫f(t)dt]dx=∫(1-x)f(x)dx 前面第一个积分符号积分区间是[0,1],第二个积分符号积分区间是[0,x],第三个积分符号积分区间是[0,1]. 调换一下积分次序即可. 对式子左边先对x积分,后对t 积分,则为∫[∫f(t)dx]dt.前面...

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