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若limxn=A,limyn=B,求lim(x1yn+x2yn%1+…xny1)/n

左边柯西不等式,右边基本不等式,放缩,夹逼。

x(n+1)=√(xnyn)<(xn+yn)/2=y(n+1) 于是0<xn<yn恒成立 y(n+1)=(xn+yn)/2<(yn+yn)/2=yn 于是yn单调减,而yn>0,于是单调减且有下界 于是limyn存在 令limyn=A>0 因为xn<yn,于是xn<A x(n+1)=√(xnyn)>√(xnxn)=xn 于是xn单调增,而xn<A,于...

证明:Y(n+1)-X(n+1)=1/2(Xn+Yn-2√XnYn)=1/2(√Yn-√Xn)²<1/2*(√Yn-√Xn)*(√Yn+√Xn)=1/2*(Yn-Xn); 同理:Yn-Xn<(1/2)的(n-1)次方*(Y1-X1); 当n趋于无穷时,Yn-Xn≤0; 又Yn>0,Xn>0,Yn-Xn=1/2*(√Yn-1-√Xn-1)的平方≥0; 所以得证!

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