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若A^2=E,则A的特征值是多少

证明:设a的特征值为a,x为特征向量则ax=ax左乘a,可得a^2x=aax=a^2x而a^2=e,所以a^2x=ex=x所以(a^2-1)x=0对任意的a而言,所对应的x的取值不唯一,因此要求a^2-1=0,即a=±1即若a^2=e,则a的特征值为±1.

解:设λ是对应于特征向量ξ(≠0)的任意一个特征值,则 (A-E)ξ=A(Aξ)-ξ=A(λξ)-ξ=(λ-1)ξ=0 故特征值λ满足方程λ-1=0 则λ为1或-1(特征值可能全为1,也可能全为-1,只由现有条件无法知道重数,但不会有其它的特征值)

A^2=E----->A^2-E=0----->x^2-1 最后一个称为A的化零多项式.A的特征值一定是A的化零多项式的根.故A的特征值为1或-1 注意:不能确定1和-1的重数,甚至不能确定有没有1(例如-E,无1为特征值,所有特征值均为-1),有没有-1(例如E).

证明:设A的特征值为a,X为特征向量则AX=aX左乘A,可得A^2X=aAX=a^2X而A^2=E,所以a^2X=EX=X所以(a^2-1)X=0对任意的A而言,所对应的X的取值不唯一,因此要求a^2-1=0,即a=±1即若A^2=E,则A的特征值为±1.

因a*=|a|a.(a*)^2+e=|a|^2 *a^2+e=f(a) .若方阵a的特征值为λ , 则f(a)有特征值f(λ )=|a|^2 *λ^2+1 题目应该给出行列式|a|的值

设a是A的特征值则 a^2-1 是A^2-E的特征值而 A^2-E=0, 零矩阵的特征值只能是0所以 a^2-1=0所以 a=1 或 a=-1即A的特征值为1或-1.

特征值为1或-1 不妨设特征值为a Ax=ax 则 A^2 x=Ex=x 另一方面A^2 x=A*ax=a^2 x 故有:a^2 =1 即a=1 或a=-1

详细点的过程就是假设x是a的任一特征向量,a是对应于这个特征向量的特征值,那么x不是零向量,有ax=ax成立.a^2=a,两边同乘x,则aax=axaax=ax,(a^2-a)x=0,由于x不是零向量,那么系数必为0又由于x是任意的特征向量,所以特征值只能为0或1.熟悉了就不用这样分析了,直接就能看出来.

A=E等于4.|A^2-2A+E|等于0.解:因为矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=1,λ3=2,那么|A|=λ1*λ2*λ3=-1*1*2=-2.又根据|A*| =|A|^(n-1),可求得 |A*|= |A|^2 = (-2)^2 = 4.同时根据矩阵特征值性质可求得A^2-2A+E的特征值为n1、n2、n3.则n1=(λ1)^2

显然不对.考试时这样写肯定没分.例如A=diag{1, 0, 1, 0}(以1010为主对角线的对角阵),那么A=A^2.你的证明从第一步开始就是错的.而且即使真的是对的,你下面的过程也只是验证0和1可以,没有排除其他的可能性.就像解方程sin nπ

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