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求y=x^2E^2x的20阶导数

利用高阶导数的莱布尼兹公式就可以如图求出y的20阶导数,注意x^2的3阶以上导数都是0。

y = x²e^(2x) y ′ = 2x e^(2x) + 2x²e^(2x) = 2(x+x²)e^(2x) y ′′ = 2(1+2x)e^(2x) + 4(x+x²) e^(2x) = 2(1+4x+2x²) e^(2x) y ′′′ = 2(4+4x) e^(2x) + 4(1+4x+2x²) e^(2x) = 4(3+6x+2x²) e^(2x) y ′′′′ = 4(...

多求几次,发现规律,然后按规律写是求高阶导数的一个方法,这个求出来是2的20次方再乘以e的2x次方

则y的20阶导数为2^20*20! 2^20表示2的20次方 20!表示20的阶乘 20!=20*19*18*...*3*2*1

y展开后x的最高次项是40次方,低于40次方的项在求40次导数时都变为0了,所以y的40次导数就是原式中x的40次方项的系数,也就是1

如图

这样来说吧,莱布里茨公式(uv)(n)=u(n)v+u(n-1)v'+……+uv(n),括号表示求导多少次方,我们发现v'=2x,v''=2,v(k)=0(k=3,4,^,20), 所以这个公式只剩下三项,(uv)(n)=u(n)v+u(n-1)v'+u(n-2)v“,于是得出结果为y(20)=(x^2e^2x)(20)=2^20e^2x·x^2+20...

请见下图的过程

莱布尼兹公式: y(20)=x^2cos(x+10π)+20·2x·cos(x+9.5π)+190·2·cos(x+9π) =x^2cosx+40xsinx-380cosx

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