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计算三重积分∫∫∫z√x²+y²DV,其中Ω是由曲...

令x=rsinψcosθ,y=rsinψsinθ,z=rcosψ那么∫∫∫√(x+y+z)dxdydz=∫∫∫(r*rsinψ)drdψdθ=∫∫∫(rsinψ)drdψdθ积分区域:由x+y+z≤x得:0≤r≤sinψcosθ0

用漆面坐标:球半径1∫∫∫(x+y+z)dv=∫(0,2π)dθ ∫(0, π/2)dφ∫(0,2cosφ)r^3sinφdr=2π∫(0, π/2)dφ∫(0,2cosφ)r^3sinφdr=8π∫(0, π/2)cos^4φsinφdφ=8π/5

Ω:{(x,y,z)|-c≤z≤c,x/a+y/b≤1-z/c}原式=∫(-c→c)zdz∫∫(Dz)dxdyDz={(x,y)|x/a+y/b≤1-z/c}∴∫∫(Dz)dxdy=π√[a(1-z/c)]√[b(1-z/c)]=πab(1-z/c)原式=∫(-c→c)πab(1-z/c)zdz=(4/15)πabc不懂继续追问,

令x=acosθsinφ,y=asinθsinφ,z=acosφ因为x+y+z-2rz≤0,所以带入上面参数化简有a-2racosφ≤0所以,参数积分区域0≤a≤2rcosφ,0≤θ≤2π,0≤φ≤π/2故∫∫∫z*(x+y+z)^(-1.5)=∫∫∫acosφ*(a)^(-1.5)*asinφdadθdφ=∫∫∫cosφsinφdadθdφ=∫cosφsinφdφ∫da∫dθ=4πr∫cosφsinφdφ=-(4/3)πrcosφ=4πr/3

∫∫√x+ydσ=∫∫ppdpdθ=∫(0,2π)dθ∫(1,2)pdp=2π p/3 |(1,2)=2π(8-1)/3=14π/3

答:区域Ω对三个变量x,y,z是对称的.因此∫∫∫xdxdydz=∫∫∫ydxdydz=∫∫∫zdxdydz所以∫∫∫(X+Y+Z)dxdydz=3∫∫∫xdxdydz算到是1/8,这个不难了.7月r4

z = x + y + z x + y + z - z + 1/4 = 1/4 x + y + (z - 1/2) = (1/2) { x = rsinφcosθ { y = rsinφsinθ { z = rcosφ ω:r = rcosφ → r = cosφ ∫∫∫ (x + y + z) dv= ∫∫∫ r * rsinφ dv = ∫∫∫ rsinφ dv= ∫(0→2π) ∫(0→π/2) ∫(0→cosφ) rsinφ

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