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对于齐次微方程,Dy/Dx=F(y/x) 令y/x=u是针对F()里...

一阶微分方程可化成dy/dx=f(y/x)的叫齐次方程,如(xy-y^2)dx-(x^2-2xy)dy=O,最终可以化简为dy/dx=[y/x-(y/x)^2]/(1-2y/x),即dy/dx=f(y/x)即其右边是只关于y/x的函数!所以叫齐次方程!

注意u也是x的函数即可,然后使用基本的求导法则就可以得到上述结果,详细过程参考下图

把y=u与x的乘积两边求导,y导即为dy/dx,ux导则用法则前导后不导+前不导后导=u'x+ux'=(du/dx)x+u

因为经过代换u=y/x, 即y=xu y'=u+xu' 方程化为: u+xu'=f(u) xu'=f(u)-u du/(f(u)-u)=dx/x 这样就分离了变量,可以直接积分了。

这是微分方程,就是y是x的函数,y的倒数是与y和X都相关的。 含有未知函数的导数,如 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。 未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元...

求微分方程(x+y)dx+(x?y)dy = 0的通解解:P=x+y;Q=x-y;因为?P/?y=1=?Q/?x,∴是全微分方程,其通解为: u(x,y)=∫﹤0,x﹥(x+y)dx+∫﹤0,y﹥(-y)dy=(1/2)x2+xy-(1/2)y2=c? 也就是 x2+2xy-y2=c(此处c=2c?)【用此式比较合理】或写成:y2-2xy-x2=C(此...

把x除到右边去,就会发现这是一个齐次微分方程,固定解法是换元u=y/x,则y=ux,dy/dx=u+x*du/dx,原方程化为:u+x*du/dx=ulnu。此为可分离变量的微分方程,分离变量得du/[u(lnu-1)]=dx/x,两边积分得ln[lnu-1]=lnx+lnC,所以lnu-1=CX。...

因为经过代换u=y/x,  即y=xu y'=u+xu' 方程化为: u+xu'=f(u) xu'=f(u)-u du/(f(u)-u)=dx/x 这样就分离了变量,可以直接积分了。

设u=x/y 那么x=uy, dx=ydu+udy, ∴dx/dy=ydu/dy+u.

令y=xu 则y'=u+xu' 代入方程得: u+xu'=xu/(xu-x) u+xu'=u/(u-1) xu'=(u-u²+u)/(u-1) xu'=u(2-u)/(u-1) du(u-1)/[u(u-2)]=-dx/x du[1/(u-2)+1/u]=-2dx/x 积分: ln|u(u-2)|=-2ln|x|+C1 u(u-2)=C/x² y/x(y/x-2)=C/x² 得:y(y-2x)=C

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